NON-HOLOMORPHIC KAEHLER SUBMANIFOLDS OF EUCLIDEAN SPACE

This article is about non-holomorphic isometric immersions of Kaehler manifolds into Euclidean space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f colon upper M Superscript 2 n Baseline right-arrow double-struck upper R Superscript 2 n plus p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo> : </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f\colon M^{2n}\to \mathbb {R}^{2n+p}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p less-than-or-equal-to n minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p\leq n-1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , with low codimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p less-than-or-equal-to 11"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>11</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p\leq 11</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . In particular, it addresses a conjecture proposed by J. Yan and F. Zheng. The claim that if the index of complex relative nullity of the submanifold satisfies <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="nu Subscript f Superscript c Baseline greater-than 2 n minus 2 p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> ν </mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\nu _f^c&gt;2n-2p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> at any point, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f left-parenthesis upper M right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f(M)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> can be realized as a holomorphic submanifold of a non-holomorphic Kaehler submanifold of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript 2 n plus p"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^{2n+p}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of larger dimension. This conjecture had previously been confirmed by Dajczer-Gromoll for codimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p equals 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p=3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and then by Yan-Zheng for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p equals 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p=4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . For codimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p less-than-or-equal-to 11"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>11</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p\leq 11</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we already showed that the pointwise structure of the second fundamental form of the submanifold aligns with the anticipated characteristics, assuming the validity of the conjecture. In this paper, we confirm the conjecture until codimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p equals 6"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="appl